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Aufgabenstellung:

In ein gleichseitiges Dreieck (s=10) wird ein Rechteck eingeschrieben (a liegt auf einer Seite des Dreiecks, 2 Ecken berühren die anderen 2 Seiten) mit dem Inhalt von 10. Berechne die Seitenlängen des Rechtecks!

Lösung:

Man sollte sich zunächst eine Skizze von der Aufgabenstellung machen (siehe Anhang).
Grunsätzlich gilt für ein gleichseitiges Dreieck, dass es – wie der Name schon sagt – drei gleiche Seiten hat, und dass damit alle Winkel gleich sind und genau 60° betragen.

Nun stellt man bereits etwas fest. Zum einen handelt es sich bei der “Spitze” des Dreiecks wieder um ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a. Dies ergibt sich u.a. aus den Strahlensätzen. Die Winkel unten links und rechts lassen sich nämlich in der Spitze wieder antragen. Da zwei Winkel mit jeweils 60° bekannt sind, ergibt sich auch der Dritte zu 60°. Eine Seite hat die Länge a und weil ja in einem gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich lang sind, haben alle Seiten die Länge a.

Nun ermitteln wir – z.B. mit einer Formelsammlung – die Formel für die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks. Wir erhalten für die Höhe des kleinen Dreiecks in der Spitze

$ha=\sqrt{3}\cdot\frac{a}{2}$.

Schauen wir uns nochmal die Skizze an.

Mit Hilfe der Strahlensätze können wir eine Aussage über die Längenverhältnisse in unserer Zeichnung treffen.
Die beiden rot markierten Dreiecke haben beide die gleiche Form, d.h., die Winkel sind jeweils gleich.
Wir können nun behaupten, dass sich die Hypotenuse des großen, roten Dreiecks zu der Hypotenuse des kleinen roten Dreiecks genauso verhält, wie die Kathete b des großen, roten Dreiecks zur Kathete ha des kleinen, roten Dreiecks. Nochmal ausgeschrieben hieße das dann:

$\frac{x}{a}=\frac{b}{ha}$

Mit $x=s-a$ und der Gleichung für ha oben erhalten wir:

$\frac{s-a}{a}=\frac{b}{\sqrt{3}\cdot\frac{a}{2}}$

oder

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(s-a)=b$.

Aus dem Aufgabentext lesen wir, dass die Fläche des Rechtecks genau 10 betragen soll. Daher muss $a\cdot b=10$ sein oder nach b umgestellt $b=\frac{10}{a}$

Wir haben damit b eliminiert und erhalten:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(s-a)=\frac{10}{a}$

Alles auf die linke Seite gebracht und die Klammer ausmultipliziert entsteht eine schöne in Normalform gebrachte quadratische Gleichung

$a^2+\frac{5\sqrt{3}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot a-\frac{10}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=0$ oder

$a^2-10\cdot a+\frac{20}{\sqrt{3}}=0$,

die sich mit der pq-Formel lösen lässt.

$a_{1,2}=5\pm\sqrt{(-5)^2+\frac{20}{\sqrt{3}}}$

Wir erhalten die beiden Lösungen

$a_1=8,668$ und $a_2=1,332$.

Mit $b=\frac{10}{a}$ ist $b_1=1,154$ und $b_2=7,507$.