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Frage:

Was ist der Unterschied zwischen einem Sattelpunkt und einem Wendepunkt?

Antwort:

Grundsätzlich gilt: Ein Sattelpunkt ist der Spezialfall eines Wendepunktes. Damit ist jeder Sattelpunkt ein Wendepunkt, aber keinesfalls jeder Wendepunkt ein Sattelpunkt.

Eine Wendepunkt ist ja dann gegeben, wenn zunächst einmal die zweite Ableitung an einer Stelle x verschwindet (notwendige Bedingung).

$ f’’(x)=0 $

Weiterhin muss noch eine weitere Bedingung erfüllt sein. Es gibt verschiedene Ansätze, die jeweils Vor- und Nachteile haben. Manche Kriterien führen in gewissen Fällen leider gar nicht zu einer Lösung.
Zusätzlich zur oben genannten notwendigen Bedingung muss ein Wendepunkt zusätzlich folgendes erfüllen:

$ f’’’(x)\not=0 $

oder

$ f’’(x)$ wechselt an der Stelle x das Vorzeichen

oder, falls $ f’’’(x)=0 $

$f^{(n)}(x)\not=0 $ für n>2 und n ungerade (also z.B. $f^5(x)\not=0$)

Sind die Bedingungen oben erfüllt haben wir also einen Wendepunkt vorliegen.
Verschwindet zusätzlich die erste Ableitung an der Stelle x, so haben wir den Spezialfall eines Sattelpunktes gegeben.

$f’(x)=0$

Die Tangente an die Kurve im Punkt x ist dann also eine Parallele zur x-Achse oder sogar die x-Achse selbst.

Die Form der Kurve ähnelt dann etwas dem Hals, Rücken und Hinterteil eines Pferdes, wobei der Sattelpunkt genau in der Mitte des “Rückens” liegt, da, wo man zum Reiten den Sattel auflegt.