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Komplexe Zahlen

Vorbemerkung:

$i^2 = -1$
$i^3 = -i$
$i^4 = 1$

1. Darstellung:

Eine Komplexe Zahl kann in mehreren Formen dargestellt werden.

Darstellung durch Real- und Imaginärteil:

$z = a + i \cdot b$

Dabei ist a der Realteil und b der Imaginärteil. Der Imaginärteil ist dadurch erkennbar, dass er mit i multipliziert ist.

a = Re(z)
b = Im(z)

Darstellung durch Betrag und Phase:

$z = r \cdot e^{i \cdot \phi}$

Wobei $r$ der Betrag von z ist und $\phi$ die Phase oder das Argument (arg).

$r = \left| z \right| = \sqrt{Re(z)^{2} + Im(z)^{2}}$

Es ist darauf zu achten, dass bei dem Imaginärteil das i nicht mit genommen wird!

$\phi = arg(z) = arctan \frac{Im(z)}{Re(z)}$

Es muss überprüft werden, ob der Realteil negativ ist, wenn ja, dann muss $\phi $ plus $\pi $ gerechnet werden. argtan erfasst nur die Winkel von $-\frac {\pi}{2}$ bis $\frac {\pi}{2}$. (Dies wird bei der graphischen Darstellung noch einmal erläutert.)

Darstellung durch cos und sin:

$z = r \cdot ( cos(\phi) + i \cdot sin(\phi) )$

$r$ ist wieder der Betrag und $\phi$ die Phase.

Graphische Darstellung:

Die komplexe Zahl kann auch in der Gaußschen Zahlenebene abgebildet werden.
Dabei wird ein kartesisches Koordinatensystem verwendet. Auf die vertikale Achse wird der Imaginärteil aufgetragen und auf die horizontale Achse der Realteil (siehe Anhang).

a ist die „Länge“ von z auf der Realen-Achse und b die „Länge“ auf der Imaginären-Achse.
$\phi$ ist der Öffnungswinkel von z und $r$ der Betrag (die „Länge“ von z insgesamt).

Hier wird nun auch noch einmal deutlich, warum man bei der Berechnung von $\phi$ auf das Vorzeichen des Realteils achten muss.

Beispiel:

a = -1 und b= -1

Falsch: $\phi = arctan (\frac{-1}{-1}) = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$

Die Komplexe Zahl muss sich im 3. Quadranten befindet. Um dieses Ergebnis zu korrigieren, muss nun noch $\pi$ addiert werden.

Richtig: $\phi = arctan (\frac{-1}{-1}) + \pi = \frac{5}{4} \cdot \pi = 225^\circ$

2. konjugiert komplexe Zahl

Die Konjugierte einer komplexen Zahl unterscheidet sich nur dadurch, dass der Imaginärteil negativ ist.

Komplexe Zahl: $z = a + i \cdot b$
Konjugiert komplexe Zahl: $z^* = a – i \cdot b$

Dies wird bei der Rechnung mit komplexen Zahlen hilfreich sein.

3. Rechnen mit Komplexen Zahlen

Der Einfachheit halber wird hier nur die Rechnung mit Real- und Imaginärteil betrachtet.
Es kann aber genauso mit Betrag und Phase gerechnet werden.

Addition/Subtraktion

$z_1 \pm z_2 = a_1 \pm a_2 + i \cdot (b_1 \pm b_2)$

Real- und Imaginärteil werden einzeln addiert/subtrahiert.

Beispiel:

$z_1 = 3 + 4 \cdot i$
$z_2 = -2 + 9 \cdot i$
$z_1 + z_2 = (3-2) + (4+9) \cdot i = 1 + 13 \cdot i$
$z_1 – z_2 = (3+2) + (4-9) \cdot i = 5 – 5 \cdot i$

Multiplikation

$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + i \cdot b_1) \cdot (a_2 + i \cdot b_2)$

(Ausmultiplizieren der Komplexen Zahlen)

$= a_1 \cdot a_2 + i^2 \cdot b_1 \cdot b_2 + a_1 \cdot b_2 \cdot i + a_2 \cdot
b_1 \cdot i $

($i^2$ wird zu -1 und der Imaginärteil wird zusammengefasst)

$= a_1 \cdot a_2 – b_1 \cdot b_2 + ( a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot
b_1) \cdot i$

Beispiel:

$z_1 = 3 + 4 \cdot i $
$z_2 = -2 + 9 \cdot i$
$z_1 \cdot z_2 = (3 + 4 \cdot i) \cdot (-2 + 9 \cdot i )$
$= 3 \cdot (-2) + 3 \cdot (9 \cdot i) + (4 \cdot i) \cdot (-2) + (4 \cdot i) \cdot (9 \cdot i)$
$=-42 + 19 \cdot i$

Besonderheit:

$z \cdot z^* = (a + i \cdot b) \cdot (a – i \cdot b) = a^2 + b^2$

Wenn eine komplexe Zahl mit ihrer Konjugierten multipliziert wird verschwindet der Imaginärgeil. Das Ergebnis ist nun eine rein reelle Zahl.

Division

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + i \cdot b_1}{a_2 + i \cdot b_2}$

(Der Nenner des Bruches darf keinen Imaginärteil haben. Dazu wird der Zähler und der Nenner mit der konjugiert Komplexen von $z_2$ multipliziert (dies verändert den Term nicht, da $\frac{a_2 – i \cdot
b_2}{a_2 – i \cdot b_2} = 1$ ist ).)

$= \frac{a_1 + i \cdot b_1}{a_2 + i \cdot b_2} \cdot \frac{a_2 – i \cdot
b_2}{a_2 – i \cdot b_2}$

(ausmultiplizieren…)

$= \frac{a_1 \cdot a_2}{a_2^2 + b_2^2} + \frac{b_1 \cdot b_2}{ a_2^2 + b_2^2} + ( \frac{a_2 \cdot b_1}{ a_2^2 + b_2^2} – \frac{a_1 \cdot b_2}{ a_2^2 + b_2^2}) \cdot i$

Bsp:

$z_1 = 3 + 4 \cdot i$
$z_2 = -2 + 9 \cdot i$
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{3 + 4 \cdot i}{-2+9 \cdot i}$
$=(\frac{3 + 4 \cdot i}{-2+9 \cdot i}) \cdot (\frac{-2 -9 \cdot i}{-2 -9 \cdot i})$
$=\frac{30-35 \cdot i}{2^2+9^2}=\frac{6}{17} – \frac{7}{17} \cdot i$