tutoria-Nachhilfe-Wiki

Division von Potenzen

Potenzen sind Zahlen, die sich in eine Basis (b) und den Exponenten (e) zerlegen
lassen.

Im allgemeinen werden diese als: $b^e$ dargestellt.

Für diese Form der Zahl, die einem im Mathematikunterrich zuerst als x²
begegnet, gibt es verschiedene Regeln des Rechnens, die wie folgt dargestellt
sind und angewendet werden können.

Was steht eigentlich hinter $b^e$?

Wenn wir uns einige Beispiele betrachten, wird es klar.

2³ steht für 2*2*2, man multipliziert also 3 mal die 2
57 steht für 5*5*5*5*5*5*5, man multipliziert also 7 mal die 5

verallgemeinern wir es zu $b^e$, so stellen wir fest, dass hinter jeder Potenz der
Gedanke steht, dass man die Zahl b, e mal mit sich selbst multiplizieren muss.

Zu beachten ist hier:

$b^0=1$, jede Zahl hoch null, ist also 1
$b^1=b$, jede Zahl hoch eins, ist also die Zahl selbst. In der Mathematik wird das
Hoch eins ($^1$) oft weggelassen.

Wenn die Potenzen negativ werden, also 2-³ und ähnliche Formen annehmen,
dann schreibt man sie einfach mit positiven Exponenten unter den Bruchstrich
eines Bruches.

Demnach ist also 2-³ als 1/2³ zu schreiben.

Wenn wir also einen Bruch sehen, wie 2²/2³, dann gehen wir wie folgt vor:

Die Potenzen haben die gleiche Basis (nämlich 2), folglich können wir sie mit Hilfe
der ersten Potenzregel ($b^e*b^d=b^e+d$) behandeln. Dazu beachten wir, dass wir 1/2³
auch als 2-3 schreiben können. Und für unsere Aufgabenstellung ergibt sich:
$2^2 * 2^-3 = 2^2-3 = 2^-1, was 1/2^1 oder ½ ergibt.

Zu beachten ist hierbei, dass wir so nur mit Potenzenverfahren können, die die
gleiche Basis haben, wir also in einer wesentlich komplizierteren Aufgabe wie:

$x^3 * y^5 * z^8/y^4 * z^3 * x^5$

folgendes errechnen:

Wir beachten hier nur die Potenzen mit gleicher Basis, zur besseren Übersicht,
kann man den Therm auch umstellen.

$x^3 * y^5 * z^8/ x^5 * y^4 * z^3$

jetzt ziehen wir die unteren Exponenten von den oberen in der Form:

$x^3-5 * y^5-4 * z^8-3$
ab. Und erhalten:

$x^-2 * y^1 * z^5$

oder auch

$y^1 * z^5/ x^2$