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Genau dann kommt das Newtonsche Näherungsverfahren zur Anwendung:

1. Zunächst bildet man von der gegebenen Funktion die ersten beiden Ableitungen:

geg.: $f(x)$
ges.: Nullstellen

—> Ermitteln von $f^\prime(x)$ und $f^{\prime\prime}(x)$

2. Nun ermittelt man einen Startwert $x_0$ durch probieren. Dieser Startwert muss in näherer Umgebung der zu ermittelnden Nullstelle liegen.

ACHTUNG : Nicht jeder Probierwert führt zum richtigen Ergebnis!
Um zu testen, ob der Startwert zum richtigen Ergebnis führen wird muss der Wert in eine sogenannte Konvergenzbedingung eingesetzt werden.
Diese lautet:

$$|f(x)*f^{\prime\prime}(x)/(f^\prime(x))^2| < 1$$

In Worten: Man multipliziert die Funktion $f(x)$ mit der 2. Ableitung $f^{\prime\prime}(x)$ der Funktion und teilt sie durch die 1. Ableitung $f^\prime(x)$, welche jedoch quadriert werden muss. Für $x$ setzt man wie gesagt den Startwert ein. Der Betrag des Ergebnisses muss kleiner als $1$ sein (also zwischen $-0.999999$ und $0.999999$)

3. Nun Berechnet man die erste Näherung $x_1$ mit der Formel

$$x_1 = x_0 – f(x0)/f^\prime(x_0)$$

Die zweite Näherung berechnet sich wie folgt:

$$x_2 = x_1 – f(x_1)/f^\prime(x_1)$$

Der Folgewert ermittelt sich also immer aus der Differenz der vorherigen angenäherten Nullstelle und dem Quotient aus dem Funktionswert an der vorherigen angenäherten Nullstelle und der ersten Ableitung an der vorherigen angenäherten Nullstelle.

Nach ein paar Schritten ändert sich die Ergebnisse nicht mehr und man hat den Wert der Nullstelle ermittelt.