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Was ist das Ergebnis des Vektorprodukts?

Das Vektorprodukt hat als Ergebnis aus der Multiplikation zweier Vektoren einen Vektor (im Gegensatz zum Skalarprodukt welches als Ergebnis ein Skalar/Zahl hat).

Zum Einen gibt der Betrag des neu entstandenen Vektors den Flächeninhalt des Parallelogramms an, welches die zwei Vektoren einschließen, zum Anderen steht der neu entstandene Vektor senkrecht/orthogonal auf den beiden Vektoren, die man zur Berechnung herangezogen hat.

Wie berechnet man das Vektorprodukt?

Vektor 1 habe die Komponenten $x1=2$, $y1=4$, $z1=2$

Vektor 2 habe die Komponenten $x2=3$, $y2=5$, $z2=1$

Der entstehende Vektor 3 (das Vektorprodukt) berechnet sich dann:

$x3=(y1*z2)-(z1*y2)$
$y3=(z1*x2)-(x1*z2)$
$z3=(x1*y2)-(y1*x2)$

$x3=(4*1)-(2*5)$
$y3=(2*3)-(2*1)$
$z3=(2*5)-(4*3)$

Vektor 3 hat damit die Komponenten $x2=-6$, $y2=4$, $z2=-2$

Einige Anwendungsbeispiele:

Dieser Vektor kann jetzt z.B. als Normalenvektor (Normale = Senkrechte) für die Ebenengleichung verwendet werden, als Lotgerade bei Abstandsproblem Punkt-Ebene oder ähnlichem.

Der Betrag (hier Wurzel aus 56, da Wurzel aus ($(-6)²+4²+(-2)²$)) steht wie eingangs beschrieben für die Fläche (nicht die Ebene!), die von Vektor 1 und Vektor 2 aufgespannt wird. Soll nur die Dreiecksfläche berechnet werden, kommt man entsprechend durch halbieren des Werte zum Ziel.