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Ganzrationale Funktionen (der Form $g(x)= a_{1}x^n + a_{2}x^ (n-1) + … + a_{n}x¹ +a_{n+1}$) besitzen im Normalfall die Menge der reellen Zahlen als Definitionsbereich, d.h. jedes x kann in ein Polynom eingesetzt werden und man erhält den entsprechenden Funktionswert.

Eine gebrochenrationale Funktion ist jedoch ein Quotient zweier Funktionen:

Durch die Zahl 0 darf niemals dividiert werden, weshalb f(x) für alle Nullstellen der Nennerfunktion
h(x) nicht definiert ist. Dort befindet sich also eine Definitionslücke.

Berechnung der Definitionslücken:

Bei gebrochenrationalen Funktionen sollte immer zuerst den Definitionsbereich der Funktion ermittelt werden. Dazu setzt man das Polynom h(x) = 0 und errechnet die Lösungen.

Hier ein Beispiel:

Ermittlung des Definitionsbereiches anhand einer einfachen Beispielfunktion:

Wir rechnen die Lösungen der Nennerfunktion x² – x – 6 aus:

• $x_{1} = 3$
• $x_{2} = -2 $

=> Definitionsbereich D=R \ { 3, -2 }

Verlauf des Graphen um eine Definitionslücke:

Wie sieht der Funktionsgraph um eine Definitionslücke herum aus? Es ist bekannt:

• Je kleiner h(x) ist, desto größer wird f(x)
• Je mehr man sich einer Nullstelle von h(x) annähert, desto kleiner wird h(x).

Daraus lässt sich ableiten, dass f(x) kontnuierlich größer wird, je näher x an eine Nullstelle x_{0} von h(x) herankommt. Theoretisch wäre f(x_{0}) = “unendlich”, jedoch ist f(x_{0}) nicht definiert. Man nennt deswegen die Definitionslücken einer gebrochenrationalen Funktion auch “Pole”.