Es gibt grundsätzlich verschiedene Arten, einen mathematischen Beweis zu führen. Die direkteste Art, ist der direkte Beweis, oder man beweist mit einer Gegenannahme indirekt:

Direkter Beweis

Man schreibt alle gegebenen Voraussetzungen auf und versucht dann, mit bisher schon bewiesenen Sätzen und Lemmas (Hilfssätze) Folgen daraus zu ziehen, bis man auf den Gewünschten Satz gekommen ist.

Beispiel: Der Satz lautet: “Aristoteles ist sterblich.” Nun hat man die Lemmas (a) Aristoteles ist ein Mensch und (b) alle Menschen sind Sterblich. Nun folgt aus (a) und (b), dass Aristoteles sterblich ist und schon hat man den Satz bewiesen.

Induktion

Eine besondere Art des direkten Beweises, der funktioniert, sobald man sich mit Aussagen beschäftigt, die mit natürlichen Zahlen zusammenhängen, ist die vollständige Induktion.

Man zeigt dabei, dass eine bestimmte Aussage für eine einzige Zahl (am besten $1$) wahr ist (Induktionsanfang). Anschließend nimmt man an, dass die Aussage für eine beliebige Zahl $k$ wahr ist (Induktionsannahme) und zeigt, dass dann die Aussage auch für $k+1$ wahr sein muss (Indukionsschluss). Hat man dies erreicht, ist der Beweis für alle natürlichen Zahlen $k \in \mathbb N$ erbracht.

Man kann sich das wie fallende Dominosteine vorstellen: Im Induktionsanfang schubst man den ersten Stein um und im Induktionsschritt zeigt man, dass jeder fallende Stein einen weiteren mit sich reißt. Da man unendlich viele natürliche Zahlen (also Dominosteine) hat, läuft die Kettenreaktion weiter und weiter bis in die Unendlichkeit.

Indirekter Beweis

Man sucht sich wieder seine Voraussetzungen zusammen, verneint dann die Folgerung des Satzes formal. Anschließend tut man so, als wolle man diese Verneinung beweisen und zeigt dann, dass man unter Verwendung der Voraussetzungen und bisher bewiesener Sätze und Lemmas einen Widerspruch herbeiführen kann — also dass die getroffenen Gegenannahme falsch ist und somit der eigentliche Satz wahr sein muss.

Beispiel: Wieder “Aristoteles ist sterblich”. Die Gegenannahme lautet "Aristoteles ist nicht sterblich. Nun folgt aber, dass es mindestens einen Menschen gibt, der nicht sterblich ist und dies stellt einen Widerspruch zum bereits bewiesenen Satz “Alle Menschen sind sterblich” dar. Damit ist die Gegenannahme offensichtlich falsch und der Satz ist bewiesen.

Wichtig: Um diese Beweisart durchführen zu können, muss man sich klar sein, wie man korrekt verneint. Bspw. ist die Verneinung zu “alle Schüler tragen einen roten Pullover” die Aussage “Es gibt mindestens einen Schüler, den keinen roten Pullover trägt” — und nicht etwa “kein Schüler trägt einen roten Pullover”. Deshalb schreibt man in der (richtigen) Mathematik die Aussagen und Sätze häufig in einem bestimmten Schema (und mit besonderen Symbolen), was es erleichtert, die Verneinung schnell und eindeutig (und richtig) zu finden.