Um mit Hilfe des Thaleskreises geometrische Figuren konstruieren zu können, muss der Satz des Thales angewendet werden.

Satz des Thales

Satz des Thales: Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Halbkreis über der Strecke AB, dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel.

Anwendung

Aufgabe: Konstruiere ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 5cm und b = 3cm unter Verwendung des Satz des Thales.

1. Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen a = 5cm und b = 3cm.

2. Bestimme den Mittelpunkt M der Seite c (Hypotenuse) des Dreiecks. Ziehe einen Kreis mit dem Radius r = c/2 um den Mittelpunkt M. (Nach dem Satz des Thales liegt dann – neben den Punkten A und B – auch der Punkt C auf dem Kreis.)

3. Spiegele den Punkt C an dem Mittelpunkt M des Kreises. Es entsteht ein Bildpunkt C’ der ebenfalls auf dem Kreis liegt. Begründung: Strecke CM = Strecke C’M = r (Radius des Kreises)

4. Verbinde diesen Punkt mit den Punkten A und B. Es entsteht das Dreieck AC’B. Da der Punkt C’ ebenfalls auf dem Kreis liegt, gilt der Satz des Thales: Der Punkt C’ des Dreiecks AC’B liegt auf dem Halbkreis über der Strecke AB, folglich hat das Dreieck bei C’ einen rechten Winkel

5. Da nun eine neue Strecke CC’ und zwei weitere Dreiecke C’CA und C’BC enstanden sind, kann nun mit Hilfe des Satz des Thales argumentiert werden, dass auch bei den Punkten A und B rechte Winkel sind. (Die Punkte A und B liegen beide auf einem jeweiligen Halbkreis über der Strecke CC’)

Alle Winkel sind rechte Winkel. Das Rechteck AC’BC mit den Seitenlängen a = 5cm und b = 3cm wurde konstruiert. q.e.d.

In der Konstruktion von Dreiecken und besonderen Geraden darin liegt gleichzeitig der

Beweis des Satz des Thales

Der Schnittpunkt der 3 *M*ittelsenkrechten eines Dreiecks ist der Mittelpunkt seines U*m*kreises. Wir eine Dreiecksseite zum Durchmesser des Umkreises (2 Halbkreise), dann treffen sich die beiden anderen Mittelsenkrechten genau rechtwinklig in ihrer Mitte (Mittelpunkt). Beide gespiegelt ergeben ein Rechteck und den Punkt C auf dem Halbkreis.