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Funktionen sind häufig im Koordinatensystem verschoben oder verzerrt. Die Hinweise darauf können in den Funktionsgleichungen versteckt sein. Es kann auch Probleme machen, zu einer verschobenen oder verzerrten Funktion die Funktionsgleichung zu formulieren. Dass das aber nicht so schwer ist, soll die folgende Erklärung zeigen.

Beispiele: $y = x^2 (x-quadrat), y = cos x$

1. Verschiebung entlang der y-Achse (z. B. soll zu einem Temperaturverlauf die Raumtemperatur als Ausgangswert hinzuaddiert werden:

1.1. Verschiebung in Richtung +y um 2 Einheiten:

$(y-2) = x^2 und (y-2) = cos x$
Wie man sieht, ist für die Verschiebung in positive y-Richtung (also “nach oben”)zu dem y-Term der Verschiebungsbetrag mit einem NEGATIVEN VORZEICHEN hinzugefügt (die Schreibweise in Klammern soll das verdeutlichen).

1.2. Verschiebung in Richtung -y um 10 Einheiten:

$(y+10) = x^2$ und $(y+10) = cos x$
Hier ist es umgekehrt: bei Verschiebung “nach unten” ist dem y-Term der Verschiebungsbetrag mit Pluszeichen hinzuzufügen.

2. Verschiebung entlang der x-Achse (praktisch z. B. durch eine Verschiebung in einem Zeitablauf):

2.1. Verschiebung in +x-Richtung um 7 Einheiten: nun sind die Verschiebungsbeträge dem x-Term hinzuzufügen:

$y = (x-7)^2 und y = cos(x-7)$
Also die gleiche Regel: Verschiebung in +x-Richtung, also “nach rechts” erfordert ein Minuszeichen vor dem Verschiebungsbetrag

2.2. Verschiebung in -x-Richtung um 155 Einheiten (“155 Einheiten nach links”):

$y = (x+155)^2$ und $y = cos(x+155)$ nach dem entsprechenden Schema

3. Verzerrung einer Funktion, das heißt Stauchung oder Dehnung entlang der x-Achse (praktisch z. B. durch Veränderung der Frequenz bei einer Schwingung):

3.1. Dehnung der Funktion in x-Richtung (z.B. das langsame Pendel an Opas Wanduhr): die cos-Funktion wird “4-fach” wie eine Ziehharmonika auseinandergezogen:
$y = cos(0,25*x)$, denn 1/4 = 0,25. Entsprechend geht das auch mit
$y = (0,25*x)^2$ bei der Parabel.

3.2. Stauchung der Funktion in x-Richtung (z. B. die schnelle Unruhe an der Armbanduhr): die cos-Funktion wird wie beim Zusammendrücken einer Ziehharmonika um 1/4 gestaucht:
$y = cos(4*x)$; bei der Parabel: $y = (4*x)^2$

Also zu 3. merken wir uns: immer den Kehrwert des Dehnungs-oder Stauchungsbetrages als Faktor vor das x platzieren!

Diese 4 Regeln sind sehr praktisch, denn mit ihnen kann man sich aus vielen Notsituationen retten. Dazu sind sie von großer technischer Bedeutung.
Es lohnt sich, die genannten Beispiele wirklich im Koordinatensystem einmal nachzuvollziehen und nachzurechnen, um das wirklich zu verstehen. Viel Spaß und Erfolg dabei!!