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Definition (Wendepunkt): Ein Wendepunkt ist der Punkt auf einem Graphen, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Während der Graph bevor er den Wendepunkt erreicht hat beispielsweise nach links gekrümmt ist, ist er nach dem Wendepunkt nach rechts gekrümmt. Genau am Wendepunkt ist demnach die Steigung am größten.

Ermittlung des Wendepunktes: Da an einem Wendepunkt die Steigung des Graphen am größten ist suchen wir demnach das Maximum der Steigung. Die Ermittlung des Wendepunktes verläuft somit analog zur Ermittlung des Maximums/Minimums einer Funktion, nur dass hier das Maximum/Minimum der 1. Ableitung gesucht wird.

Formal: Eine Funktion f hat einen Wendepunkt im Punkt $(x_0,f(x_0))$ genau dann wenn gilt:

$f’’(x_0)=0$ und $f’’’(x_0)\not=0$

Man kann sogar noch die Art des Wendepunktes bestimmen.

Wenn in der oben genannten Bedingung $f’’’(x_0)>0$ ist, dann ist $x_0$ eine Rechts-Links-Wendestelle (der Graph krümmt sich vor der Wendestelle nach rechts, danach nach links).

Wenn $f’’’(x_0)<0$ ist, dann ist $x_0$ eine Links-Rechts-Wendestelle.

Sattelpunkt: Wenn gilt: $f’(x_0)=f’’(x_0)=f’’’(x_0)=0$ ist $x_0$ ein Sattelpunkt (siehe Bild)

Wichtig: Hat eine Funktion im Punkt $(x_0,y_0)$ einen Wendepunkt, dann bezeichnet man $x_0$ als Wendestelle!

Beispiel: Wir betrachten die Funktion $f(x)=x^3$.
Als erstes bestimmen wir die Ableitungen:

$f’(x)=3x^2$
$f’’(x)=6x$
$f’’’(x)=6$

Jetzt suchen wir das $x_0$ für das die 2. Ableitung gleich 0 ist.
Also:

$f’’(x)=0 => 6x=0 => x=0$

Also könnte x=0 eine mögliche Wendestelle sein. Zum überprüfen müssen wir noch in die 3. Ableitung einsetzen:

$f’’’(0)=6>0$

Daraus folgt dass x=0 eine Wendestelle von f ist und der Punkt (0,f(0)) ein Rechts-Links-Wendepunkt ist.