Mathematik: Klammerrechnen
- Datum: 03.12.09
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Thematische Einordnung:
Teilgebiet: Algebra
Thema: Rechnen mit Termen
Schulart: Gymnasium, 8. Klasse - Tags: Algebra
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1. Ausmultiplizieren und Ausklammern von Termen
Ausmultiplizieren: siehe „Term“ Klasse 7
Ist eine Zahl oder eine Variable in jedem Glied oder eine Summe (Differenz) als Faktor enthalten, so kannst du sie ausklammern. Die Ausklammerung (Faktorisieren) ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens. Durch das Ausklammern gemeinsamer Faktoren wird eine Summe (Differenz) in ein Produkt verwandelt.
Bsp.:
| a∙b + a∙c = a∙(b + c) | a∙b – a∙c = a∙(b – c9) |
| 3∙7 + 3∙2 = 3∙(7 + 2) | 5∙7 – 5∙4 = 5∙(7 – 4) |
Vorgehensweise:
- Finde einen gemeinsamen Teiler
- Zerlege die Produkte der Variablen in Faktoren und bestimme die gemeinsamen Faktoren.
- Schreibe alle gemeinsamen Faktoren vor die Klammer. Beachte, dass sich auch der Term in der Klammer entsprechend verändert!
Bsp.:
| 18b² – 21ab | = 3∙6b² – 3∙7ab | (gemeinsamer Faktor von 18 und 21 ist 3) |
| = 3∙6∙b∙b – 3∙7∙a∙b | (suche gemeinsamen Faktor von b² und ab) | |
| = 3b(6b – 7a) | (gemeinsame Faktoren stehen vor der Klammer) |
Übung 1 (siehe Anhang)
2. Multiplizieren von Summen, Differenzen und Summen mit Differenzen
Im Allgemeinen gilt:
Man multipliziert jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer. Die einzelnen Ergebnisse werden anschießend addiert bzw. subtrahiert.
Bsp.:
| (3 + 7k)∙(m – 2) | = 3∙m – 3∙2 + 7k∙m – 7k∙2 |
| = 3m + 7km – 14k – 6 |
(Für weitere Übungen siehe „Terme mit Variablen“ Klasse 7)
Binomische Formeln
(lat. bi = zwei, lat. nomen = Namen)
Binomische Formeln sind Spezialfälle von Summen und Differenzen. Man unterscheidet dabei zwischen drei verschiedenen binomischen Formeln.
1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Herleitung:
| (a + b)² | = (a + b)∙(a + b) = a² + ab + ba + b² |
| = a² + 2ab + b² |
2. Binomische Formel: (a – b)² = a² – 2ab + b²
Herleitung:
| (a – b)² | = (a – b)∙(a – b) = a² – ab – ba + b² |
| = a² – 2ab + b² |
3. Binomische Formel: (a + b)∙(a – b) = a² – b²
Herleitung:
| (a + b)∙(a – b) | = a² – ab + ba + b² |
| = a² – b² |
Die Glieder a² und b² nennt man quadratische Glieder. Das Glied 2ab nennt man gemischtes Glied.
Bsp.:
| (5t + 2k)² | = 25t² | + 20tk | + 4k² |
| quadrat. Glied | gem. Glied | quadrat. Glied |
3. Anwendung von binomischen Formeln
Man kann die binomischen Formeln zum Vereinfachen von Rechenausdrücken benutzen. Oft kann man mithilfe der binomischen Formeln komplizierte Aufgaben im Kopf rechnen.
Kopfrechnen mit der 3. binomischen Formel: Die Differenz zweier Quadrate kann man mit der 3. binomischen Formel in ein Produkt umwandeln.
Bsp.: Berechne 199² – 198² im Kopf:
| 199² – 198² | = (199 – 198)∙(199 + 198) |
| = 1∙387 | |
| = 387 |
Umgekehrt kann man manche Produkte geschickt in die Differenz zweier Quadrate umwandeln.
Bsp.: Berechne 49∙51 im Kopf:
| 49∙51 | = (50 – 1)∙ (50 + 1) |
| = 50² – 1² | |
| = 2500 -1 | |
| = 2499 |
Vereinfache mit 1. und 2. binomischer Formel: Man kann Summen und Differenzen mit der 1. bzw. 2. binomischen Formel in ein Produkt umwandeln, wenn darin bereits eine der binomischen Formeln „versteckt“ ist. Dazu muss man die beiden quadratischen Glieder und das gemischtes Glied des Binoms erkennen.
Bsp.:
| 81x² – 72xy + 16y² | NR: a² = 81x² à a = 9x |
| = (9x)² – 2∙(9x)∙(4y) + (4y)² | NR:b² = 16y² à b = 4y |
| = (9x – 2y)² | Probe: 2∙9x∙4y = 72xy |
Manchmal muss man zuerst gemeinsame Faktoren ausklammern.
Bsp.:
| 36x² + 48x + 16 | NR: a² = 9x² = (3x)² |
| = 4∙(9x² + 12 + 4) | b² = 4 = 2² |
| = 4∙((3x)² + 2∙3x∙2 + 2²) | Probe: 2∙ab = 2∙3x∙2 = 12x |
| = 4∙(3x + 2)² |
Übung 2 (siehe Anhang)
Literaturtipps & verwendete Quellen:
Lambacher Schweizer Klasse 7
Einfach klasse in Mathematik von Duden (Klasse 7)
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Wiki-Autor:
| Name: | Stefan F. |
| Alter: | 31 |
| Fach: | Mathematik |
| Ort: | Stuttgart |
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Es macht mir sehr viel Spaß mathematische Zusammenhänge an meine Schüler zu vermitteln. Das es mir gelingt, bestätigen postive Rückmeldungen und Notenverbesserungen meiner Schüler.
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Mitautoren: <a href="http://www.tutoria.de/ulrichn">Ulrich N.</a>
