tutoria-Nachhilfe-Wiki

Für den Winkel zwischen zwei Vektoren gilt allgemein:

$cos(\alpha)=\frac{|\vec u * \vec v|}{|\vec u| * |\vec v|}$

Wenn man sich nun eine Ebene und eine diese Ebene durchstoßende Gerade aufzeichnet, so kann man den Schnittwinkel alpha durch den Sinus berechnen. Dazu betrachte man den Normalenvektor n der Ebene, den Richtungsvektor r der Geraden und einen zu n orthogonalen Vektor in der Ebene (siehe Link).

http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek2/linalg/ebenen/wi_eb_ge_550x750.jpg

Warum aber den Sinus? Normalerweise würde es auch mit dem Kosinus gehen, nur würde man dann den Winkel zwischen dem Vektor n und dem Richtungsvektor r Geraden berechnen, in der Zeichnung den grünen Winkel. Danach müsste man noch 90°-diesen Winkel rechnen. Nach den Phasengesetzen des Sinus und Kosinus gilt aber: cos(90°-alpha)=sin(alpha).

Wir können uns also einen Rechenschritt sparen, wenn wir direkt den Sinus anwenden. Ansonsten ist die Rechnung identisch mit dem Schnittwinkel zweier Geraden, man multipliziert hier jedoch nicht zwei Richtungsvektoren miteinander, sondern den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene.

Die Formel lautet:

sin(alpha)=(|Vektor(u) * Vektor(n)|)/(|Vektor(u)| * |Vektor(n)|)

Wichtig ist, dass der Winkel als Probe immer kleiner als 90° sein muss! (und größer als 0)

Für zwei Ebenen wäre die Formel mit den beiden Normalenvektoren aufzustellen:

cos(alpha)=(|Vektor(n1) * Vektor(n2)|)/(|Vektor(n1)| * |Vektor(n2)|)

Wie man sieht, ist der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen dieselbe Rechnung wie zwischen zwei Geraden. Dies ist logisch, da mit den beiden Normalenvektoren die Schnittwinkelberechnung identisch mit der zweier Geraden ist.

Schule-bw