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Was versteht man unter exponentiellem Wachstum und wie kann ich es berechnen?

Exponentielles Wachstum ist ein sehr schnelles Wachstum. Ein Beispiel ist sind Zinsen bei angelegtem Geld. Man bekommt einen festen Zinssatz pro Jahr, also etwa 3%. Bei einem Betrag von 1000 Euro sind das 30 Euro Zinsen in einem Jahr. Im zweiten Jahr hat man einen Betrag von 1030 Euro und bekommt wieder 3% Zinsen darauf. Das macht 30,90 Euro. Diese kommen dann im nächsten Jahr wieder auf den Betrag und es werden im dritten Jahr 1060,90 verzinst.
Dieses Wachstum kann man auch mit einer Formel berechnen:

Kn = Ko*q^n , wobei q = (1 + p%), n = Zeitintervall, Ko = Anfangswert, Kn = Endwert nach Zeitintervall, p% = Wachstumsrate

Hier im Beispiel lautet die Gleichung dann:

q = 1 + 3/100 = 1,03
Ko = 1000 €

=> Kn = 1000*1,03^n

Berechnung fürs erste Jahr: n = 1

Kn = 1000 € *1,03 = 1030 €

Für das zweite Jahr: n = 2

Kn = 1000 € *1,03^2 = 1060,90 €

In 10 Jahren wäre der Betrag dann auf 1343,90 € angewachsen.

Man kann exponentielles Wachstum linearem Wachstum gegenüberstellen. Lineares Wachstum wäre, wenn man z.B. 200 € Anfangsbetrag hat und jedes Jahr 100 dazubekommt. Exponentielles Wachstum wächst schneller als lineares.

Mit exponentiellem Wachstum kann man auch das Wachstum von Bakterien bestimmen.
Neben Wachstum kann es aber auch exponentielle Abnahme geben. Damit berechnet man meist die Halbwertszeit von radioaktiven Stoffen.
Bei der Abnahme muss man nur q anders berechnen: q = 1 – p%. Man erhält für q also etwas, dass kleiner als 1 ist.

Beispiel: Ein radioaktives Element hat eine Halbwertszeit von 10 Tagen. Wie viel von diesem Element ist nach 47 Tagen übrig?

Lösung: Wir bedienen uns wieder der Formel

Kn = Ko*q^n => Ko = 100% (die gesamte Menge des Elements), q = 1 – 50% = 0,5

Kn = 100% * 0,5^n

Wir müssen nun nur noch über Dreisatz n berechnen. Ein Zeitintervall entspricht dabei 10 Tagen:

1 = 10 T

Was entsprechen dann 47 T?

x = 47 T

Man teilt die beiden Gleichungen durch einander und erhält:

x/1 = 47 / 10 = 4,7

n ist also hier 4,7.

Setzen wir das in die Gleichung ein:

Kn = 100% * 0,5^4,7 = 3,85 %

Nach 47 Tagen sind also nur noch 3,85% des ursprünglichen radioaktiven Elements vorhanden.