tutoria-Nachhilfe-Wiki

Die Wehrle-Zahl ist das Produkt der Variablen dividiert durch ihre Summe

Produkt x1 x2 x3 …. xn ∏

w(Variablen) = __________________________ = ______
Summe x1+x2+x3+….+ xn ∑

Für das Produkt steht der große griechische Buchstabe für das P,
nämlich Π (sprich Pi),
und für die Summation steht der große griechische Buchstabe für das S,
nämlich Σ (sprich Sigma).

Nehmen wir z. B. die ersten drei natürlichen Zahlen x=1, y=2 und z=3.
Das Produkt dieser drei Zahlen ist ebenso groß wie ihre Summe, und daher ist ihre Wehrle-Zahl

w (x, y, z) = 1 × 2 × 3 : (1+2+3) = 1

Aufgaben:
1.) Berechne die Wehrle-Zahl der zwei Werte 10 und 20.
2.) Wie heißt die Wehrle-Zahl der drei Werte 10, 20 und 30?
3.) Wie heißt die Wehrle-Zahl der ersten fünf natürlichen Zahlen?

Lösungen:
1.) w(10, 20) = 10 × 20 / (10 + 20) = 200/30 = 20/3 = 6⅔
2.) w(10, 20, 30) = 10 × 20 × 30 / (10 + 20 + 30) = 6000 / 60 = 100
3.) w(1, 2, 3, 4, 5) = 1 × 2 × 3 x 4 × 5 / (1 + 2 + 3+ 4 + 5) = 120/15 = 8

Addieren wir nun jeweils zwei dieser drei ersten natürlichen Zahlen x=1, y=2 und z=3, dann erhalten wir als Summen die drei Seiten eines Dreiecks mit a =1+2 = 3, b =1+3 = 4 und c =2+3= 5. In diesem Falle ist es sogar rechtwinklig, d.h. es enthält einen 90°-Winklel, da der Satz des Pythagoras gilt: 3²+4²=5²
Sein Inkreisradius r ist eben gerade diese Wehrle-Zahl 1 für diese Ausgangsgrößen 1, 2 und 3.

Aufgabe:
Berechne die Wehrle-Zahl der Seiten des Dreiecks der Abbildung 1
Lösung: 3 × 4 × 5 : (3 + 4 + 5) = 2 × 1 × 2,5 wobei r = 1 und R = ½c = 2,5

Die Wehrle-Zahl der Dreiecksseiten dieses pythagoreischen Tripels 3, 4 und 5 ist w (3, 4, 5) = 3 × 4 × 5 : ((4-1)4(4+1)) = 3×4×5 : (3×4) = 5
das bedeutet zugleich, daß der Produktwert ihres Inkreisradius r mit ihrem Umkreisradius R fünf ist.

Die Wehrle-Zahl der drei Dreiecksseiten, oder kürzer – des Dreiecks -, ist eben gerade das doppelte Produkt der beiden Radien, nämlich des Inkreises r, der alle Seiten berührt, und des Umkreises R, der durch die drei Ecken festgelegt ist . (Durch zwei Punkte ist eine Gerade eindeutig bestimmt, und durch drei ein Kreis, dessen Zentrum der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten des durch diese drei Ecken bestimmten Dreiecks ist!)

a b c

w = ______________ = 2 r R
a + b + c

Aufgabe:
Berechne die Wehrle-Zahl speziell für rechtwinklige Dreiecke
Lösung: Für rechtwinklige Dreiecke mit der Hypotenuse c= 2R ist w = rc

Da die Wehrle-Zahl die Dimension einer Fläche hat, kann man sie auch als eine Fläche veranschaulichen. Nun ist beim rechtwinkligen Dreieck die Wehrle-Zahl gerade seine Dreiecksfläche, abzüglich dem vierten Teil einer anderen Wehrle-Zahl, wie wir gleich ein paar Seiten später noch sehen werden, dem Differenzen-Wehrle w*:

A = w + ¼ w* .

Da dieser Differenzen-Wehrle gerade das Quadrat des Inkreis-Durchmessers w* = 4r² ist, folgt:

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ergibt sich als Summe der Wehrle-Zahl und dem Inkreisradius-Quadrat!

A = w + r2

Die Fläche ist die Summe der wehrle-Zahl und dem Quadrart des Inkreisradius!

Beispiel: a=3, b=4 und c=5
A = ½ x 3 × 4 = 6 und w = 6 – 1 = 5 wegen r = 1 oder A=1(1+5)

Aufgabe:
1.) Berechne die Fläche A, die Wehrle-Zahl und somit den Inkreisradius für das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13.
2.) Gilt die Formel auch für das Dreieck mit den Seiten 13, 14 und 15, wenn dessen Fläche A =84 und sein Inkreisradius r = 4 ist!

Nun teilt die Höhe h=ab/c ein rechtwinkliges Dreieck (mit der Hypotenuse AB=c) in zwei zum Dreieck ABC ähnliche Teildreiecke AHcC und BHcC (mit den Ähnlichkeitsfaktoren k=b/c bzw. a/c ), deren Wehrle-Zahlen
w1 = (b/c)hoch2 w und
w2 = (a/c)hoch2 w

als Summe (wegen a hoch2 + b hoch2=c hoch2) gerade die Wehrle-Zahl des gesamten Dreiecks ist:

w = w1 + w2

Die Wehrle Zahl eines ähnlichen Dreiecks mit k-fachen Seitenlängen ist das k²-fache der originalen Wehrle-Zahl, da im Zähler mit k³ und im Nenner mit k multipliziert wird!

Aufgabe:

Prüfe diesen Zusammenhang w = w1 + w2 am Dreieck der Abbildung 1 nach, das durch die Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke der Wehrle- Zahlen w1 bzw. w2 zerlegt wird.
(Hinweis: Die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks ist das Kathetenprodukt 3×4=12 dividiert durch die Hypotenuse c=5, also h=2,4.)

Daraus folgt wegen w = A – r² unmittelbar, dass die Summe der Inkreisradienquadrate der Teildreiecke gleich dem Inkreisradius-Quadrat des Gesamtdreiecks ist:

r1²+r2² = r² .

wobei sich die Radien (wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke) wie die Katheten verhalten!

Beispiel: a=3, b=4 und c=5 ergibt

2r1=p+h-a=1,8+2,4-3=1,2
2r2=q+h-b=3,2+2,4-4=1,6

Daher ist w1= ar1 = 1,8 und w2 = br2 = 3,2 und somit w1 + w2 = 5 = w

Mithin ist r1 hoch2 +r2 hoch2= 0,6 hoch2 +0,8 hoch2 = 1 und r1 : r2 = 12:16 = 3:4 = a:b

Aufgabe: Konstruiere das rechtwinklige Dreieck für das r1= r2 = 1 ist.

Die der größten Seite gegenüberliegende Ecke bildet mit den beiden Berührpunkten des Inkreises an den Katheten und dem Inkreiszentrum Mi ein Quadrat, und die Wehrle-Zahl ist das Maß der Fläche des Dreiecks bis auf eben dieses Quadrat. Da die doppelte Fläche 2A = ab gerade die Fläche des Rechtecks ist, die aus den Katheten, – d. h. den am rechten Winkel anliegenden Seiten -, gebildet wird, und da das Produkt aus Umfang u und Inkreisradius bei allen Polygonen ebenfalls die doppelte Fläche 2A =ur ergibt, folgt aus

½ab= (w + r hoch2) = 2rR + r hoch2

Das Produkt der Katheten (die doppelte Fläche) ist

ab = 2r(r+2R) u = 2(r+2R)

Beispiel: Für a=3 und b=4 ist r=1 und A =6.
R=2,5 und somit 2A = 3×4 = 2x(1+5)
Und der Umfang ist u = 3+4+5 = 2(r+2R) = 12

Aufgaben:
1.) Berechne den Umfang des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Inkreisradius r=20 und dessen Umkreisradius R=50 ist.
2.) Berechne den Inkreisradius des rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 5 und 12.

Beim rechtwinkligen Dreieck ist die längste Seite die sog. Hypotenuse. Da die längste Seite im Dreieck immer dem größten Winkel gegenüber liegt und die kleinste immer Gegenseite des kleinsten Winkels ist, liegt sie dem 90°-Winklel, dem größten Winkel gegenüber! (Die Winkelsumme im Dreieck ist ja in Folge des Parallelpostulats genau 180°!)

Wenn nun die Hypotenuse c ist, wird der Inkreisdurchmesser einfach zu berechnen als Seiten-Differenz d©

2 r = a + b – c

Der Umweg über die beiden kürzeren Seiten a und b ist gerade
um den Inkreisdurchmesser 2r länger als der direkte Weg über die Hypotenuse .

Aufgabe: Berechne den Inkreisradius des rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 5 und 12 mit der Formel 2 r = a + b – c.

Da die Hypotenuse gerade der Umkreisdurchmesser c = 2R ist (Umfangswinkel über derselben Sehne sind gleich, und die größte Sehne ist der Durchmesser, dem immer ein rechter Winkel gegenüberliegt, was zum sog. Thaleskreis als Umkreis führt), folgt aus 2 r = a+b – c

Die Summe der Katheten ist gleich der Summe der Durchmesser!

a+b = 2(R+r)

Beispiel: a=3 und b=4 a+b = 3+4 = 5+2 = 2R+2r

Aufgabe:
Prüfe diese Kathetensummenformel für das rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 5 und 12 nach.

Beide Gleichungen mit den beiden Unbekannten a und b enthalten nur Ausdrücke mit den Kreisradien und liefern zusammen für die Katheten a1 und a2 des rechtwinkligen Dreiecks eine Formel, die nur von den Radien abhängt:

a½= R+r ± √ (R hoch2–r hoch2 – w) oder a½ = R+r ± √ (R hoch2 – A)

wobei also a = a1 und b = a2 ist, oder umgekehrt

Beispiel:
R=2,5 und r=1 ergibt für die Summe der Radien R+r = 2,5+1 = 3,5

Der Radikand 2,5 hoch2 – 1 hoch2 – 5 = 0,25 ist hier quadratisch, die Wurzel ist 0,5.

Somit werden die Katheten a= 3,5 +0,5 = 4 und b = 3,5 – 0,5 = 3
(Hypotenuse ist ja 2R=5).

Aufgabe:
Prüfe diese obere Kathetenformel für das rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 5 und 12 nach.

Wenn von der Summe zweier Dreiecksseiten, deren dritte Seite subtrahiert wird, erhalten wir genau die doppelten Tangentenabschnitte x, y und z, in welchen die Berührpunkte des Inkreises die Seiten teilen. Bezeichne wir sie kurz als Differenzen

d© = a + b – c , d(b) = a – b + c

und
d(a) = – a + b +c

Diese Seitendifferenzen sind speziell beim rechtwinkligen Dreieck besonders interessant:

Die kleinste davon bezeichne ich als x. Sie ist gerade der Inkreisradius des Dreiecks und das Produkt Summe der andere beiden Tangentenabschnitte ist sein Flächeninhalt A:
Wenn die größte Seite (die dem rechten Winkel gegenüberliegende die Hypotenuse) c ist, gilt

x = ½(a+b-c) = r

und für die Fläche
A = yz = (a-r)(b-r) .

Aufgabe:
Berechne die Seiten-Differenzen für das rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 5 und 12 nach.

Die Differenzen beinhalten die sog. Dreiecksungleichungen, nach denen die Summe zweier Seiten stets größer als die dritte sein muss:

a+b > c ≡ a+b-c > 0

somit muss d© = a+b-c positiv sein,

wie analog auch die anderen Differenzen.

Bilden wir nun die Wehrle-Zahl der Differenzen w*
(kurz den „Differenzen-Wehrle“),

w* = d(a) d(b) d© : [ d(a) +d(b) + d©] =

= [(- a+ b c) (a – b +c) (a + b – c )] : (ab+c) = 4r²

wobei der Nenner d(a) + d(b) + d© gerade den Umfang u = a + b + c liefert, dann ergibt sich daraus bei jedem beliebigen Dreieck gerade das den Inkreis umgebende Quadrat.

Aufgaben:
1.) Berechne die Seiten-Differenzen für das Dreieck mit den Seitenlängen 4, 13 und 15. Was ist die Wehrle-Zahl dieser Differenzen?
2.) Berechne die Seiten-Differenzen für das Dreieck mit den Seitenlängen 13, 14 und 15. Was ist die Wehrle-Zahl dieser Differenzen?

Die Wehrle-Zahl der Differenzen w* ist gerade 4 r hoch2, nämlich die Fläche des den Inkreis umbeschriebenen Quadrats.

w* = (2r) hoch2 = 4r hoch2

Für die Seiten a=x+y, b=x+z und c=y+z, lassen sich bei einem beliebigen Dreieck die Seiten-Differenzen gerade als die doppelten Tangentenabschnitte 2x, 2y, 2z berechnen.

Es folgt daraus

r² = xyz/(x+y+z)

Die Wehrle-Zahl der Tangentenabschnitte ist das Quadrat des Inkreisradius!

Aufgaben:
1.) Berechne den Inkreisradius für das Dreieck mit den Seitenlängen 4, 13 und 15.
2.) Berechne den Inkreisradius für das Dreieck mit den Seitenlängen 13, 14 und 15. Was fällt auf?

Sind x, y und z die Tangentenabschnitte eines beliebigen Dreiecks, dann ist also der Inkreisradius die Wurzel aus Produkt durch Summe

r = √ {xyz/(x+y+z)}

und die Fläche ist wegen A = ½ur= √{(x+y+z)xyz} die Wurzel aus Summe mal Produkt

A = √ [(x+y+z) xyz]= √ {Σxi ∏xi} = xyz/r

Beispiel: a=6+7=13, b=6+8=14 und c=7+8=15 mit x=6, y=7, z=8 und r=4: A=6×7×8/4=84

oder weil die Summe mal Produkt (6+7+8) x 6×7×8 = 3×7 × 6x7x8 = (6×7)²x4 ist, folgt

A=6×7×2=84

Merke: abc = 4AR und xyz = Ar

Aufgaben:
1.) Berechne die Seiten-Differenzen für das rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 5 und 12 nach. Berechne daraus den Inkreisradius und A.
2.) Berechne den Inkreisradius für das Dreieck mit den Seitenlängen 11, 12 und 13. Wie groß ist seine Fläche?

Auf die Seiten umgerechnet wird

r = ½√[(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(a+b+c)]

und A = ¼√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]

= ¼√ [ (a2 + b2 + c2) 2 -2(a4+ b4 + c4 )]

Beispiel: a=13, b=14 und c= 15 hat x=8, y=7 und z= 6

Es ist Σxi²xk = 2058; ∏xi=16×3×7, der halbe Umfang ist Σxi= 3×7, daher
√[ ∏xi Σxi]=4×3×7 R = (514,5 + 168) / 84 = 6,125 +2 = 8,125 = 8⅛

Dasselbe Ergebnis erhält man für 4, 13, 15 bzw. 1, 3, 12: Σxi²xk=708; √[ ∏xi Σxi]=6×4
[ ¼x708 + ½x36 ] / 24 = [177+18]:24 = 8,125

Aufgaben:
1.) Berechne die Fläche für das Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 nach.
2.) Berechne die Fläche A und den Inkreisradius r für ein Dreieck deiner Wahl.

Man kann die Wehrle-Zahl natürlich auch von den drei Sinus-Werten der drei Dreieckswinkel bilden,
was den sog. Sinus-Wehrle liefert. Man erhält für ihn r/(2R).
Übrigens ist der Tangens-Wehrle genau 1
und der Cotangenswehrle der drei halben Dreieckswinkel ist ebenfall genau 1.

Weitere trigonometrische Wehrle-Formeln und Abbildungen dazu finden Sie unter
Wehrle-Formeln
(In Suchmaschine “Hugo E. Wehrle” eingeben)