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Lösen quadratischer Gleichungen

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage mit mindestens einer Unbekannten, auch Variable genannt. Die Variable, nach der die Gleichung aufgelöst werden soll heißt gesuchte Variable.
Eine quadratische Gleichung ist nun eine Gleichung, in der die gesuchte Variable bis zur zweiten Potenz vorkommen kann. Hierbei sind Potenzen nur mit natürlichen Exponenten gemeint. Damit kann eine quadratische Gleichung immer in der folgenden Form angegeben werden:

Allgemeine Normalform einer quadratischen Gleichung:

$0=ax^2+bx+c$,

wobei a, b, c beliebige reelle Zahlen sind.

Teilen wir die Gleichung der allgemeinen Normalform durch a, dann erhalten wir die

Normalform einer quadratischen Gleichung:

$0=x^2+px+q$,

wobei p,q beliebige reelle Zahlen sind.

Da jede quadratische Gleichung in der Normalform angegeben werden kann, genügt es wenn wir uns mit dieser Normalform beschäftigen und diese nach der Unbekannten x auflösen.
In der Normalform kommt die Unbekannte x in zwei unterschiedlichen Potenzen vor. Diese beiden Potenzen können nicht zusammengefasst werden. Daher kann die Gleichung der Normalform in dieser Gestalt nicht elementar durch Gleichungsumformungen nach der Unbekannten x aufgelöst werden. Was nun??

Da die Gleichung der Normalform nicht in der angegebenen Gestalt elementar nach x aufgelöst werden kann, wird nun eine Gestalt gesucht, die dies möglich macht. Schauen wir uns die Normalform etwas genauer an, dann können wir erkennen, dass die drei Summanden $x^2$, $px$, $q$ die Glieder der ersten binomischen Formel sind. Die erste binomische Formel hat die folgende Gestalt:

$(x+d)^2$,

wobei d eine spezielle reelle Zahl ist, die wir noch bestimmen wollen.

Lösen wir in dieser binomischen Form die Klammer auf, dann erhalten wir:

$(x+d)^2=x^2+2dx+d^2$

Die rechte Seite dieser Gleichung hat jetzt die gleiche Struktur, wie die rechte Seite der Gleichung unserer Normalform und diese beiden Seiten stimmen genau dann überein, wenn die jeweiligen Glieder gleich sind (Koeffizientenvergleich). Die quadratischen Glieder sind schon gleich. An den beiden linearen Gliedern können wir erkennen, dass die Zahl die genau die Hälfte von p sein muss, d.h.

$d=\frac{p}{2}$

Lösen wir nun in der binomische Form für $d=\frac{p}{2}$ die Klammern auf erhalten wir:

$(x+\frac{p}{2})^2=x^2+px+(\frac{p}{2})^2$

Die rechte Seite dieser Gleichung stimmt nun bis auf das Absolutglied mit der rechten Seite der Normalform überein. Was kann jetzt noch gemacht werden?

Da das Absolutglied eine reelle Zahl ist, die nicht von der Unbekannten x abhängt, können wir in der obigen Gleichung einfach die uns störende Zahl $(\frac{p}{2})^2$ abziehen und die gewünschte Zahl q addieren:

$(x+\frac{p}{2})^2=x^2+px+(\frac{p}{2})^2$
$(x+\frac{p}{2})^2-(p/2)^2+q=x^2+px+(p/2)^2-(\frac{p}{2})^2+q$
$(x+\frac{p}{2})^2-(\frac{p}{2})^2+q=x^2+px+q$

Damit stimmt nun unsere Binomische Form mit der rechten Seite der Normalform überein.

Binomische Form einer quadratischen Gleichung

$(x+d)^2+e$, mit $d=\frac{p}{2}$ und $e=-(\frac{p}{2})^2+q$

Die binomische Form ist jetzt genau die gesuchte Gestalt, nach der wir eine quadratische Gleichung nach der Unbekannten x auflösen können:

$0=x^2+px+q$
$0=(x+\frac{p}{2})^2-(\frac{p}{2})^2+q$
$(\frac{p}{2})^2-q=(x+\frac{p}{2})^2$

An dieser Stelle wird die Umformung “Wurzelziehen” benötigt, um das Quadrat zu eliminieren. Die Umformung “Wurzelziehen” ist keine äquivalente Umformung, da sie nicht eindeutig ist, denn wenn eine Zahl u zum Quadrat die Zahl v ergibt, dann ist auch $-u$ zum Qudarat gleich v. Diese Zweideutigkeit muss in der Umformung “Wurzelziehen” berücksichtigt werden:

$(\frac{p}{2})^2-q=(x+\frac{p}{2})^2$
$\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}=x_{1,2}+\frac{p}{2}$
$x_{1,2}=\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}-\frac{p}{2}$

Damit können quadratische Gleichungen auf zwei gleichwertige Arten gelöst werden:

Lösen über die Lösungsformel:

$0=x^2+px+q$ $\Rightarrow$ $x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

Diese Lösungsformel kann man sich folgendermaßen merken:
In der Lösungsformel ist das erste Glied die negative Hälfte aus der Zahl vor x. Unter der Wurzel ist das erste Glied genau diese negative Hälfte zum Quadrat. Das zweite Glied ist der negative Wert von q.

Lösen über quadratische Ergänzung:

$0=x^2+px+q$ $\Rightarrow$ $0=(x+d)^2+e$ mit $d=\frac{p}{2}$

e ist genau die Zahl, die von $d^2$ abgezogen oder addiert wird, um die Zahl q zu erhalten.
Die Unbekannte x erfolgt dann durch Umformen nach x.