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1.GRENZWERTE VON FOLGEN

Eine Folge $(a_n)$ hat den eindeutig bestimmten Grenzwert $g\in R$ genau dann, wenn für alle $\epsilon>0$ ein natürliche Zahl $N$ existiert, so dass für alle Folgeglieder $a_n$ mit $n>N$ gilt, dass der Abstand dieser Folgeglieder zu dem Grenzwert $g$ immer kleiner ist als das vorgegebene $\epsilon$:
$\lim_{n \to \infty}a_n\Longleftrightarrow\forall\epsilon\exists N\in N:\forall n>N:<|a_n – g|<\epsilon$

2.GRENZWERTE VON FUNKTIONEN

Sei $f:D\rightarrow R$ mit $f(x)=y$ eine Funktion. Der Grenzwert einer Funktion in Abhängigkeit von x kann nun im Gegensatz zu Folgen nicht nur für $x\rightarrow\pm\infty$ bestimmt werden, sondern auch für $x$ gegen eine reelle Zahl $a\in R$ ($x\rightarrow a$).

Grenzwerte von Funktionen für x gegen eine reelle Zahl
Nachdem wir wissen, wann eine Zahl $g\in R$ der Grenzwert einer Folge ist, können wir diese Grenzwertdefinition nutzen, um den Grenzwert einer Funktion $f:D\rightarrow R$ mit $f(x)=y$ für $x\rightarrow a$ mit $a\in R$ zu bestimmen. Um diese obige Grenzwertdefinition zu nutzen, benötigen wir jedoch eine Folge und keine Funktion und die Grenzwertbetrachtung $n\rightarrow\infty$ und nicht $x\rightarrow a$. Was nun???

Um aus der Funktion $f$ eine Folge zu machen, definieren wir uns eine Folge $(x_n)$, die den folgenden Bedingungen genügen muss:
(1) $x_n\in D$ für alle $n\in N$, d.h. alle Folgeglieder liegen in dem DB der Funktion f
(2) $x_n\neq a$ für alle $n\in N$, d.h. kein Folgeglied nimmt die reelle Zahl $a$ an
(3) $\lim_{n \to \infty}x_n =a$, d.h. der Grenzwert der Folge $(x_n)$ ist die reelle Zahl $a$

Setzen wir nun diese so definierte Folge $(x_n)$ in die Funktion $f(x)$ für x ein, dann erhalten wir eine Folge $f(x_n)$. Der Grenzwert $g$ dieser Folge $f(x_n)$ ist nun auch gleichzeitig der Grenzwert der Funktion $f$ für $x\rightarrow a$:
$\lim_{x \to a}f(x)=g\Longleftrightarrow\lim_{n \to \infty}f(x_n)=g$