Einführung

Die Kurven von quadratischen Funktionen haben alle ein typisches Aussehen.

• Wenn sie von unten kommen, erreichen sie irgendwann einen höchsten Punkt, um dann wieder nach unten zu verlaufen.
• Wenn sie also von oben kommen, dann erreichen sie einen tiefsten Punkt, um danach wieder nach oben zu verlaufen.

Diese höchsten und tiefsten Punkte, an denen die Parabel ihre Richtung ändert, nennt man Scheitelpunkte.

Scheitelpunktform

Parabelfunktionen kann man in einer bestimmten Schreibweise schreiben, sodass man direkt den Scheitelpunkt ablesen kann. Diese Form nennt man Scheitelpunktform (oder auch kurz Scheitelform ).

Allgemein sieht diese Form so aus:

y = a * (x – b)² + c

Achtung: a kann positiv/negativ sein, b und c können positiv/negativ/Null sein!

Wenn also z.b. a = 3, b = -2 und c = 5 ist, so sieht das Ganze dann so aus:

y = 3 * (x -(-2))² + 5 = 3 * (x + 2)² + 5

Hier sieht man auch, wie aus der (-2) dann am Ende eine (+2) wurde.

Das Besondere an dieser Form ist, dass man den Scheitelpunkt direkt ablesen kann: b steht für den x-Wert und c für den y-Wert des Scheitelpunkts.

Der Wert a gibt an, ob die Parabel nach oben (positiv) oder nach unten (negativ) geöffnet ist, und ob sie gedehnt oder gestaucht ist. a hat aber keinen Einfluss darauf, wo sich der Scheitelpunkt befindet.

Wie man im Beispiel sehen konnte, gibt es aber eine kleine Hürde, was das b betrifft: Durch das Minus in der Klammer, wird immer das Vorzeichen umgedreht. Aus der (-2) wurde dann am Ende eine (+2). Wichtig ist, dass die (-2) der eigentliche Wert für b ist.

Man muss also immer darauf achten, dass man beim Ablesen die Vorzeichen für b wieder zurücktauscht.

• aus Plus wird Minus
• aus Minus wird Plus

Für das Beispiel y = 3 * (x + 2)² + 5 ergibt sich daher der Scheitelpunkt S( -2|+5 )

Wenn man nicht die Scheitelpunktform hat?

Das Problem in den meisten Aufgaben ist, dass die Gleichung nicht in der kompletten Scheitelpunktform ist:

1. Es fehlen Teile der Scheitelpunktform (also a,b,c)

• hat man nur x², so sind b und c einfach Null. Der Scheitelpunkt ist S(0|0)
• hat man (x – b)², so ist nur c Null. Der Scheitelpunkt ist S(b|0)
• hat man x² + c, so ist b Null. Der Scheitelpunkt ist S(0|c)
• um a braucht man sich keine Sorgen machen, da es ja nichts mit dem Scheitelpunkt zu tun hat.

Wichtig sind nur das b in der Klammer und das c.

2. Es ist nicht die Scheitelpunktform, sondern die Parameterform

Viele quadratische Gleichungen liegen in der sog. Parameterform vor. Diese bekommt man, wenn man die Klammer der Scheitelpunktform auflöst und alles zusammenfasst.

Das sieht in unserem Beispiel so aus:

1. 3 * (x + 2)² + 5
2. = 3 * (x² + 4x + 4) + 5
3. = 3x² + 12x + 12 + 5
4. = 3x² + 12x + 17

1. erste Binomische Formel
2. Klammer mit der 3 ausmultiplizieren
3. Zusammenfassen
4. die letzte Zeile bezeichnet man dann als Parameterform.

Wenn es also einen Weg gibt, aus einer Scheitelpunktform die Parameterform zu machen, so kann man das auch rückgängig machen. Die Idee ist, dass im ersten Schritt eine Binomische Formel benutzt wurde. Die Methode, die diese Idee benutzt, um im Rückwärtsschritt aus der Parameterform die Scheitelpunktform zu bekommen nennt man Quadratische Ergänzung.