tutoria-Nachhilfe-Wiki

Wenn man eine Funktion hat, die stetig ist, dann heißt das nicht unbedingt, dass sie differenzierbar ist, wohingegen eine differenzierbare Funktion immer stetig sein muss. Anschaulich gesprochen bezeichnet Stetigkeit, die Tatsache, dass man eine Funktion mit einem Strich durchzeichnen kann, letztere also keine Sprünge besitzt. Wenn eine Funktion differenzierbar ist, bedeutet dies, dass letztere “schön glatt” (oder auch “rund”) ist, also keine “Kanten” besitzt. Die Frage nach der Differenzierbarkeit einer Funktion ist nur dann sinnvoll, wenn die Funktion an den zu untersuchenden Stellen keine Sprünge besitzt. Daraus folgt, dass Stetigkeit die Voraussetzung für Differenzierbarkeit ist.

Das einfachste Beispiel um zu beweisen, dass eine stetige Funktion nicht differenzierbar ist, ist die Funktion f(x)= |x|.

Diese hat nämlich bei x=0 die Steigung +1 und gleichzeitig die Steigung -1, je nach dem von welcher Seite man sich an 0 annähert. Dazu ist es nötig, den Differenzialquotient zu benutzen:

$f’(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0} {f(x)-f(x0)}:{x – x0}$

Da die Steigung an der Stelle x=0 also nicht eindeutig ist, ist die Funktion dort nicht differenzierbar.