Kurvendiskussion (Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte etc.)

Im folgenden Blogbeitrag erläutern wir Dir, wie Du eine Kurvendiskussion erfolgreich durchführst. In der Regel werden in der Mathematik Arbeit folgende Themengebiet bei der Kurvendiskussion abgefragt:

• Nullstellen berechnen
• Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen
• Extrempunkte bestimmen, d.h. Hoch- und Tiefpunkt berechnen
• Wendepunkt berechnen
• Symmetrie bestimmen (Punkt- oder Achsensymmetrie)
• Tangente bestimmen

Nullstellen berechnen:

Die Nullstellen auf der x-Achse werden berechnet, indem Du die Funktionsgleichung (Ausgangsfunktion, d.h. f(x)) gleich Null setzt. Um die Nullstellen zu berechnen, stehen Dir folgende Verfahren zur Verfügung:

• Die Gleichung nach x auflösen
• Ausklammern
• Pq-Formel
• Substitutionsverfahren
• Polynomdivision

Doch, wann benutzt Du welches Verfahren?

Nach x auflösen
Wenn die Funktionsgleichung beispielsweise nur Zahlen ohne weitere Unbekannte und xb hat, kannst Du die Gleichung nach x auflösen. Hier zwei Beispiele dazu:

1.) Beispiel

f(x) = 2x + 4
f(x) = 0

2x + 4 = 0 Nach x auflösen => zunächst beide Seiten –4 rechnen
2x = -4 Anschließend beide Seiten durch 2 teilen, damit das x alleine steht
x = -2

A: Die Nullstelle von der Gleichung f(x) = 2x + 4 lautet N1(-2/0).

2.) Beispiel

f(x) = 2x – 4 + 5x – 7
f(x) = 0

2x – 8+ 5x –6 = 0 Nach x auflösen – die Zahlen zusammenrechnen, die zusammengerechnet werden können
7x – 14 = 0 Danach +14 auf beiden Seiten rechnen, damit das x alleine auf der linken Seite steht
7x = 14 Die Gleichung durch 7 teilen, damit vor dem x eine unsichtbare 1 steht.
x = 2

N1( 2 / 0)

A: Die Nullstelle von der Gleichung f(x) = 2x – 4 + 5x – 7 lautet N1( 2 / 0).

Anmerkung:
Wenn Du die Nullstellen auf der x-Achse als Koordinate angibst, achte darauf, dass der y-Punkt immer 0 ist, z.B. N1(-2/0). Des Weiteren ist wichtig, dass das x am Ende immer positiv ist, z.B. x = – 2

Ausklammern
Wenn die Funktionsgleich beispielsweise alle Zahlen mindestens ein x haben, kannst Du ausklammern.

Beispiel:

f(x) = 4x2 + 2x
f(x) = 0

4x2 + 2x = 0 Ausklammern
2x (2x +1) = 0 Sowohl die Zahlen in der Klammer als auch außerhalb der Klammer gleich 0 setzen
2x = 0 v (2x +1) = 0

2x = 0 Durch 2 teilen
x = 0

N1 (0 / 0)

2x +1 = 0 – 1 rechnen auf beiden Seiten
2x = -1 Durch 2 teilen
  x = -0,5

N2 (-0,5 / 0)

A: Die Nullstellen von der Gleichung f(x)= 4x2 + 2x lauten N1(0 / 0) und N2 (-0,5 / 0).

Pq-Formel
Wenn die Funktionsgleichung eine Zahl mit x2, eine mit x und eine Zahl ohne x hat, musst Du die Pq-Formel anwenden, damit Du die Nullstellen ausrechnen kannst.

Beispiel:

f(x) = 4x2 + 2x – 4
f(x) = 0

4x2 + 2x – 4 = 0 Durch 4 teilen, damit x2 positiv ist und eins ist
x2 + 1/2x – 1 = 0 Pq-Formel anwenden (-1/2 +/- Wurzel( (p/2)2 -q)

Anmerkung:
P ist die Zahl vor dem x und q die Zahl ohne x, in dem Beispiel ist p = +1/2 und q = -1
Wichtig ist, dass die Vorzeichen von p und q beachtet werden

x1,2 = – 1/2/2 +/- Wurzel( (1/2/2)2 – (-1))
x1,2 = -0,25 +/- Wurzel (0,0625+1)
x1,2 = -0,25 \ +/- Wurzel (1,0625)
x1 = -0,25 + Wurzel (1,0625)
x1 = -0,25 + 1,03
x1 = 0,78

N1(0,78 / 0)

x2 = -0,25 + Wurzel (1,0625)
x2 = -0,25 – 1,03
x2 = -1,28

N2 (-1,28 / 0)

A: Die Nullstellen von der Gleichung f(x) = 4x2 + 2x – 4 lauten N1(0,78 / 0) und N2 (-1,28 / 0).

Substitutionsverfahren
Wenn die Funktionsgleichung eine Zahl mit x4, eine mit x2 und eine Zahl ohne x hat, musst Du das Substitutionsverfahren anwenden, damit Du die Nullstellen erhältst.

Beispiel:

f(x) = 4x4 + 8x2 – 8
f(x) = 0

4x4 + 8x2 – 8 = 0 Durch 4 teilen, damit x4 positiv ist und eins ist
x4 + 2x2 – 2 = 0 Substitutionsverfahren (x4 = z2, x2 = z)
z2 + 2z – 2 = 0 Pq-Formel anwenden (-1/2 +/- Wurzel( (p/2)2 -q)

z1,2 = – 2/2 +/- Wurzel( (2/2)2 – (-2))
z1,2 = -1 +/- Wurzel (1+2)
z1,2 = -1 +/- Wurzel (3)
z1 = -1 + Wurzel (3)
z1 = -1 + 1,73
z1 = 0,73

z2 = -1 – Wurzel (3)
z2 = -1 – 1,73
z2 = -2,73

Resubstitutionsverfahren

z1 = 0,73 einsetzen

x2 = z1
x2 = +0,73 Wurzel ziehen
x1 = -0,85
x2 = 0,85

N1(-0,85 / 0)

N2 (0,85 / 0)

z2 = -2,73

x2 = z2
x2 = -2,73 Wurzel ziehen
=> Keine Lösung, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann

A: Die Nullstellen von der Gleichung f(x)= 4x4 + 2x2 – 4 lauten N1(-0,85 / 0) und N2 (0,85 / 0).

Polynomdivision
Wenn die Funktionsgleichung beispielsweise eine Zahl mit x3, eine mit x2 und eine Zahl ohne x hat, musst Du die Polynomdivision anwenden, um die Nullstellen ausrechnen zu können.

f(x) = 2x3 + 4x2 + 2x + 4 x0 = -2
f(x) = 0

2x3 + 4x2 + 2x + 4 = 0
2x3 + 4x2 + 2x + 4 : (x+2) = 2x2 + 2
– (2x3+4x2 )
———————————
0 + 2x + 4
– (2x + 4)
———————————
0

2x2 + 2 = 0 Nach x auflösen = – 2 rechnen
2x2 = -2 Durch 2 teilen
x2 = -1 Wurzel ziehen
=> Keine Lösung, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann
 

N1(-2 / 0)

A: Die Nullstelle von der Gleichung f(x) = 2x3 + 4x2 + 2x + 4 lautet N1(-2 / 0).

Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu rechnen, musst Du für x „0“ einsetzen in die Funktionsgleichung:

Beispiel:

f(x) = 2x3 + 4x2 + 2x + 4
f(0) = 2*03 + 4*02 + 2*0 + 4
f(0) = 4

A: Die Koordinate des Schnittpunktes mit der y-Achte lautet (0 / 4).

Anmerkung:
Wenn Du den Schnittpunkt mit der Y-Achse als Koordinate angibst, achte immer darauf, dass der x-Punkt immer 0 ist, z.B. N1(0 / 4). Des Weiteren ist wichtig, dass das y am Ende immer positiv ist, z.B. y = – 2

Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt):
Um die Extrempunkte ausrechnen zu können, benötigen wir die erste und zweite Ableitung der Ausgangsfunktion.
Die erste Ableitung muss gleich 0 gesetzt werden und anschließend nach x aufgelöst werden. Danach müssen die x-Werte aus der ersten Ableitung in die zweite Ableitung eingesetzt werden, um zu schauen, ob es ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.
Ein Hochpunkt ist es, wenn das Ergebnis der zweiten Ableitung kleiner ist als 0.
Ein Tiefpunkt ist es, wenn das Ergebnis der zweiten Ableitung größer ist als 0.
Anschließend werden die x-Werte von der ersten Ableitung in die Ausgangsfunktion eingesetzt und ausgerechnet, damit wir den y-Wert vom Hoch- oder Tiefpunkt erhalten.

Beispiel:

f(x) = 2x3 + 4x2 + 2x + 4

Ableitungen:

f(x) = 2x3 + 4x2 + 2x + 4

f‘(x) = 2x3 + 4x2 + 2x + 4
= 3*2x3-1 + 2*4x2-1 + 2x1-1
= 6x2 + 8x + 2

f‘‘(x) = 6x2 + 8x + 2
= 2*6x2-1+ 8
= 12x + 8

Notwendige Bedingung: f'(x) = 0
O = 6x2 + 8x + 2 Die Gleichung durch 6 teilen
O = x2 + 4/3x + 1/3 Pq-Formel

x1,2 = – 4/3/2 +/- Wurzel( (4/3/2)2 – (1/3))
x1,2 = – 2/3 +/- Wurzel (4/9 +1/3)
x1,2 = – 2/3 +/- Wurzel (1/9)
x1 = – 2/3 + Wurzel (1/9)
x1 = – 2/3 + \ 1/3
x1 = – 1/3

N1(0,73 / 0)

x2 = – 2/3 – \ Wurzel (1/9)
x2 = – 2/3 – 1/3
x2 = -1

Hinreichende Bedingung: f'(x) > 0 Tiefpunkt oder f“(x) < 0 Hochpunkt
f“(x) = 12x + 8

f“(-1/3) =12*(-1/3) + 8
f“(-1/3) = 4 > 0 Tiefpunkt

f“(-1) = 12*(-1) + 8
f“(-1) = – 4 < 0 Hochpunkt

x-Wert von f'(x) in f(x), um den y -Wert zu erhalten

f(x) = 2x3 + 4x2 + 2x + 4

f(-1/3) = 2*(-1/33 + 4*(-1/3)2 + 2*(-1/3) + 4
f(-1/3) = 3,73
TP (-1/3) / 3,73)

f(-1) = 2*(-1)3 + 4*(-1)2 + 2*(-1) + 4
f(-1) = 4
HP (-1/ / 4)

A: Der Hochpunkt lautet HP (-1/ / 4) und der Tiefpunkt lautet TP (-1/3) / 3,73).

Um den Wendepunkt bestimmen zu können, benötigen wir die zweite und dritte Ableitung der Ausgangsfunktion.
Die zweite Ableitung muss gleich 0 gesetzt werden und anschließend nach x aufgelöst werden. Danach müssen die x-Werte aus der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung eingesetzt werden, um zu schauen, ob es ein Wendepunkt ist.
Dabei ist die Bedingung, dass das Ergebnis der dritten Ableitung ungleich 0 sein muss, damit es ein Wendepunkt ist.
Anschließend werden die x-Werte von der zweiten Ableitung in die Ausgangsfunktion eingesetzt und ausgerechnet, damit wir den y-Wert vom Wendepunkt erhalten.

Ableitungen:

f(x) = 2x3 + 4x2 + 2x + 4

f‘(x) = 2x3 + 4x2 + 2x + 4
= 3*2x3-1 + 2*4x2-1 + 2x1-1
= 6x2 + 8x + 2

f‘‘(x) = 6x2 + 8x + 2
= 2*6x2-1+ 8
= 12x + 8

f‘‘‘(x) = 12x + 8
= 12x1-1
= 12

Notwendige Bedingung: f“(x) = 0
f“(x) = 12x + 8
0 = 12x + 8 Minus 8 rechnen
– 8 = 12x Durch 12 teilen
-2/3 = x

Hinreichende Bedingung: f“‘ ungleich 0
f“’(-2/3) = 12 ungleich 0

x-Wert von f’'(x) in f(x), um den y -Wert zu erhalten
f(-2/3) = 2*(-2/3)3 + 4*(-2/3)2 + 2*(-2/3) + 4
f(-2/3) = 3,85
WP (-2/3) / 3,85)

A: Der Wendepunkt lautet WP (-2/3) / 3,85).

Symmetrie bestimmen (Punkt- oder Achsensymmetrie)
Punktsymmetrie
f(-x) = -f(x)
=> Kommen nur ungerade Exponenten in der Funktionsgleichung vor, ist die Gleichung punktsymmetrisch.

Achsensymmetrie
f(-x) = f(x)
=> Kommen nur gerade Exponenten in der Funktionsgleichung vor, ist die Gleichung achsensymmetrisch.

Beispiel:

f(x)= f(x) = 2x3 + 4x2 + 2x + 4
=> Da sowohl ungerade als auch gerade Exponenten in der Funktionsgleichung vorkommen, liegt keine Symmetrie vor.

f(x)= f(x) = 2x4 + 4x2+ 4
=> Da nur gerade Exponenten in der Funktionsgleichung vorkommen, liegt eine Achsensymmetrie vor.

f(x)= f(x) = 2x3 + 2x + 4
=> Da nur ungerade Exponenten in der Funktionsgleichung vorkommen, liegt eine Punktsymmetrie vor.

Tangente bestimmen
Die Tangentengleichung lautet t(x) = mx + b

1.) Beispiel:

Tangentengleichung bestimmen, wenn zwei Punkte gegeben sind P(2/4) und S(8/10)
f(x)= x2 + 2x + 4

Steigung bestimmen:

y2 -y1
_____ = m
x2 -x1

10 – 4
_____ = m
8 – 2

1 = m

Den x-Wert, y-Wert sowie die Steigung in die Gleichung f(x) = mx + b einsetzen

10 = 1*8 + b nach b auflösen = – 8 rechnen
2 = b

Die Steigung und den Wert von b in folgende Gleichung einsetzen t(x) = mx + b, damit Du die Tangentengleichung erhältst.

A: Die Tangentengleichung lautet t(x)= x + 2

2.) Beispiel:

Tangentengleichung bestimmen, wenn nur ein x-Wert x= 2 gegeben ist
f(x)= x2 + 2x + 4

Den x-Wert in f(x) einsetzen, um den Y-Wert zu erhalten
f(x)= x2 + 2x + 4
f(2)= 22 + 2*2 + 4
f(2)= 12

Erste Ableitung bilden und dort den x-Wert einsetzen, um die Steigung zu erhalten.
f(x)= x2 + 2x + 4
f'(x)= 2x + 

f'(2)= 2*2 + 2
f'(2)= 4 = m

Den x-Wert, y-Wert sowie die Steigung in die Gleichung f(x) = mx + b einsetzen

f(x) = mx + b
12 = 4*2 + b nach b auflösen = – 8 rechnen
4 = b

Die Steigung und den Wert von b in folgende Gleichung einsetzen t(x) = mx + b, damit Du die Tangentengleich erhältst.

A: Die Tangentengleichung lautet t(x)= 4x + 4

Wenn Du Fragen zur Kurvendiskussion hast oder nur einzelne Teilbereiche wie die Berechnung von Nullstellen, Extrempunkte oder Wendepunkte nicht komplett verstanden hast, helfen wir Dir gerne weiter. Wir können Dir den Stoff gerne in einer Einzelnachhilfestunde bei Dir Zuhause anbieten.

Wir wünschen Dir viel Erfolg bei der Klausur und stehen Dir bei Fragen jederzeit zur Verfügung.