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Terme und Gleichungen

In diesem Beitrag erklären wir euch wie Terme und Gleichungen aufgebaut sind und wie ihr sie problemlos lösen könnt.

Terme

Inhaltsverzeichnis

Was ist ein Term?
Wie schreibe ich einen Term?
Zusammenfassen und ordnen von Variablen und Termen
Multiplizieren von Summen

Terme

Ein Term besteht aus sinnvoll zusammengesetzten Zahlen, Variablen und Rechenzeichen.
Bsp.: 20y ∙ 3; x; x²; 5 + n

Die Buchstaben wie x, y, z werden als Variablen oder Platzhalter für Zahlen verwendet.
Bsp.: In dem Term 5 + n steht die Variable n als Platzhalter

Setzt man für die Variable eine Zahl ein, so nimmt der Term einen Wert an.
Bsp.: Setzen wir für n die Zahl 2 an ein, so nimmt der Term den Wert 10 an.

Die Grundmenge G beinhaltet die Zahlen, die man für die Variable einsetzen darf.
Bsp.: Grundmenge G beinhaltet alle natürlichen Zahlen. D.h. n kann durch jede natürliche Zahl ersetzt werden.

Schreibweise für Terme

Koeffizient ist eine Zahl, die als Faktor mit der Variablen multipliziert wird. Ein Koeffizient steht immer vor der Variablen.
Bsp.: 5∙x, Der Koeffizient von x ist 5.

Malpunkte zwischen einem Koeffizienten und der Variablen oder zwischen 2 Variablen dürfen weggelassen werden.
Bsp.:

5∙x = 5x a∙3 = -3a 6∙u+v = 6u+v
a∙b = ab y∙y = yy = y² a∙b∙c = abc

Der Koeffizient 1 wird meist nicht notiert
Bsp.: 1∙x = x und -1∙x = -x

Zusammenfassen und ordnen von Variablen und Termen

Gleiche Variable mit gleichen Hochzahlen dürfen addiert bzw. subtrahiert werden, indem du die Koeffizienten addierst bzw. subtrahierst.
Dabei sollten die Variablen alphabetisch und nach der Höhe der Potenz geordnet werden.
Bsp.:
4x + 6x = 4+6x = 10x
5x – 2x = 52x = 3x
2t + t + s = 2t + 1t + s = 3t + s
3x²y – x²y + xy = 3x²y – 1x²y + xy = 2x²y + xy

Beachte beim Auflösen von Klammern die Vorzeichen vor der Klammer:
Bsp.:
a + b+c = a + b + c
a – bc = a – b + c

Merke: Berechne Klammern immer zuerst, dann Potenzrechnungen vor Punktrechnungen vor Strichrechnungen => Klam – Po – Pu – Stri

Multipliziere dividiere ein Produkt mit einer Zahl durch eine Zahl, indem du den Koeffizienten mit dieser Zahl multiplizierst dividierst. Kürzen nicht vergessen!
Bsp.:
7∙2x = 72∙x = 14x
16y : 4 = 16y/4 = 4y

Multipliziere zwei Produkte, indem du die Koeffizienten mit dieser Zahl multiplizierst und die Produkte gleicher Variablen als Potenzen schreibst.
Bsp.:
7x∙3xy = 7∙3∙x∙x∙y = 21x²y

Potenziere ein Produkt, indem du jeden Faktor potenzierst und das Produkt ausschreibst. Fasse anschließend gleiche Faktoren wieder zusammen.
Bsp.:
3a²b² = 3a²b∙3a²b = 3∙3∙a∙a∙a∙a∙b∙b = 9a<sup>4</sup>b²

Multiplizieren von Summen

Multipliziere eine Summe Differenz

Differenz mit einer Zahl, in dem du jedes Glied der Summe Differenz mit der Zahl multiplizierst und die Ergebnisse addierst subtrahierst.
Es gilt:
a∙b+c = a∙b + a∙c
a∙bc = a∙b – a∙c

Bsp.:
5∙3+4xy = 5∙3 + 5∙4xy = 20xy + 15
3∙82x= 3∙8 – 6x = -6x + 24

Multipliziere zwei Summen Differenzen miteinander, indem du jedes Glied der ersten Summe Differenz mit einem Glied der zweiten Summe Differenz multiplizierst und die Ergebnisse zusammenfasst.
Es gilt für die Summen: a+ba+bc+dc+d = ac + ad + bc + bd

Gleiches gilt auch für Differenzen:
ab

abc+d = ac + ad – bc – bd
a+bcd = ac – ad + bc – bd
abcd = ac – ad – bc + bd


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