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Mathematik: Ähnlichkeit zwischen geometrischen Figuren

Die Ähnlichkeit ist ein wichtiges Konzept in der Geometrie; weiß man, dass sich zwei Figuren ähnlich sind, so kann man Schlüsse ziehen, die einem viel Zeit und/oder Arbeit ersparen.

Ein typisches Beispiel hierfür ist die Frage, wie man die Höhe eines Turmes bestimmen kann, ohne ihn erklimmen zu müssen. Der Turm wirft tagsüber natürlich einen Schatten und man kann den Abstand vom Fuß des Turms bis zum Ende des Schattens (den wir sT nennen) messen. Doch wie erschließt man hieraus die Höhe?

Damit kommt man zum Thema Ähnlichkeit. Zwei geometrische Formen X und Y sind einander ähnlich, wenn sie

  1. die gleiche Anzahl von Seiten haben
  2. die Winkel zwischen den Seiten gleich sind und
  3. das Verhältnis zwischen den Seiten gleich ist.
    Es reicht, wenn 2 dieser Bedingungen erfüllt sind; das impliziert dann die verbleibende Bedingung.

Hat man beispielsweise zwei Dreiecke mit den Seiten A, B und C (für X) bzw. D, E und F (für Y), so gilt:

  1. Die erste Bedingung (gleiche Anzahl von Seiten) ist bereits erfüllt.
  2. Wenn die Winkel alphaX, betaX und gammaX im Dreieck X dann mit den Winkeln alphaY, betaY und gammaY übereinstimmen ist außerdem Bedingung 2 erfüllt.
  3. Letztendlich müssen die Seitenverhältnisse übereinstimmen; d.h. es gilt: A/B = D/E, A/C = D/F und C/B = F/E. Alternativ kann man auch überprüfen, ob A/D = B/E = C/F gilt.

Zurück also zur Frage des Turmes. Wir wissen, dass die Winkel übereinstimmen müssen. Nehmen wir an, der Turm steht im rechten Winkel zum Boden, dann bräuchten wir also definitiv ein weiteres rechtwinkliges Dreieck. Stellen wir also z.B. eien Stab der Länge 1m senkrecht so auf den Boden, dass er einen Schatten wirft, so haben wir zum Boden einen rechten Winkel und, da die Sonne relativ zum Stock an der gleichen Stelle steht wie zum Turm, stimmt auch der obere Winkel überein. Da die Summe der Winkel im Dreieck immer gleich ist (nämlich 180°) stimmt demnach auch der untere Winkel überein. Damit sind 2 Bedingungen der Ähnlichkeit erfüllt, das Dreieck zwischen der Turmspitze, dem Turmfuß und dem Schattenende des Turms ist also ähnlich zum Dreieck zwischen der Stabspitze, dem Stabfuß und dem Schattenende des Stabs.
Wir messen also die Länge des Schattens (sS) und wissen bereits die Höhe des Stabs (hS = 1m). Da die Dreiecke ähnlich sind muss also gelten:
hT/sT = hS/sS <=> hT = sT * hS/sS

Da wir die Variablen sT, hS und sS kennen, können wir also nun die Höhe des Turms berechnen.

Ganz allgemein kann man z.B. sagen:

  • alle Kreise sind zueinander ähnlich
  • alle gleichwinkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich
  • alle Quadrate sind zueinander ähnlich
    Bei anderen Figuren muss man die obigen Bedingungen individuell prüfen.

Wiki-Autor:

Alasdair
Name: Alasdair
Alter: 28
Fach: Englisch, Informatik/EDV, Mathematik
Ort: Bonn
Preis: 14,20 €
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Qualifikation:
Bestätigt

Integrität:
-
Was mir am Nachhilfeunterricht geben Spaß macht:

Unterrichten ist für mich eine Leidenschaft - wenn ich jemandem helfen kann etwas zu verstehen fühle ich mich dabei richtig gut.

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